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[1]數學的發展與創新思維 數學是一種思維方式,表現了人類思維的本質和特征。幾何學的公理化體系具有邏輯嚴謹性和對象抽象性從而又具有應用廣泛性而素稱思維的體操,這一點已得到大家的 公認。
數學思維更是當前學術界的常用詞,它不僅指數學中的邏輯思維,還特指與數學密切相關的思維方式。數學家將這種思維分為左腦管轄的抽象思維、形式化和公理化,右腦管轄的探索性思維、形象思維和直覺思維。目前正在研究左右腦思維的配合,以期將數學發展成為一種高效率的思維科學。[2]由此不難發現,如果數學科學家缺乏創新思維,它必阻滯數學家發明或創造新的數學方法、思想和原理,這是千百年來數學發展規律的歷史經驗總結。因此要回答數學被發現還是被發明就必須來考察數學創新思維的一般規律。 法國著名數學家彭加勤在巴黎心理學會上作過一次著名的演講,在這一講演中,關于數學創新思維的過程,彭加勒曾以自己發明富克斯群和富克斯函數理論為例,作過生動的描述。起初,彭加勒對這種函數冥思苦想想了整整兩個星期,企圖證明它不存在。后來,一天晚上彭加勒說:不同于往常的習慣,我喝了濃咖啡,因而輾轉反復,難以入眠,眾多思維蜂擁而至,我感到了它們不斷地沖突和碰撞,,直到最后,它們一一相連,也就是說,形成了一個穩定的組合體。[3] 由此,彭加勒構造出了第一類這種函數。就在 此時,他開始了旅行生活,旅途中他忘掉了數學工作。突然在馬車踏板上的一剎那,一個思想突然閃現在他的腦海里,這個思想就是,他用以定義富克斯函數的變換與非歐幾何變換是等價的。對彭加勒的數學創新過程我們可以概括成以下四個階段:(1)準備階段,這時是有意識的工作,但常常不能得到預期的結果;(2)醞釀階段,即暫時丟開手頭工作,而去干些其他事件,或去休息一下子,而無意識思維卻已由此而開動起來;(3)頓悟階段,此時問題的答案或證明的途徑已經出乎預料地突然出現了;(4)整理階段,即將頓悟時所感覺到的那些結果嚴格地加以證明,并將其過程精確化,同時又可為下一步研究作好必要的準備。可見,數學創新思維是由相互聯系、相互作用的若干組成部分按一定方式結合的具有特定功能的有機整體,數學創新的四個階段是數學認識過程的程序化的體現。 世界著名數學家、科學家和哲學家在其科學與方一書中認為,數學直覺并不是每一個人都具有的,有些人或者沒有這種如此難以定義的微妙的感覺,或者沒有超常的記憶力和注意力,因此,他們絕對不可能理解較高級的數學。[4]更重要的是,在彭加勒看來,只有超常的記憶力和注意力,而沒有數學直覺的人,他們能夠理解數學,有時還能應用數學,但不能創造數學;而具有這種特殊的數學直覺的人,盡管記憶力和注意力毫無非同尋常之處,他們也能理解數學,并且可以成為數學創造者。我國著名數學家華羅庚、王元創立的用數論方法對多重積分進行數值計算的著名方法。1958年,王元看到蘇聯數學家卡拉波夫的一篇論文,該文論述了積分近似計算與蒙特`卡羅方法之關系,之后他馬上找到華老,華先生一眼看出蒙特`卡羅方法的實質就是數論方法。從此,他們走上了用數論方法探索對多重積分進行數值計算的道路。對單重積分由牛頓、車貝契夫、高斯等都做出過杰出貢獻,若將他們的公式推廣到高維情形,則誤差將隨維數增加而增加,顯然這種方法是行不通的。華王二先生隨即從二重積分入手,想從中找到突破口,他們認真分析了卡拉波夫方法的特點:理論較復雜且適應范圍小。對此,他們大膽提出了一種直接的方法,并要快速找出一組點,適應范圍盡可能大。根據華先生的直覺,他認為確定計算二重積分的點即平面上的點。用費波那契數列和黃金分割即可找到,果真如此,王先生根據華先生的想法,很快就證明出來了,對二重積分的近似計算獲得了一個完美的逼近公式,發表在1960年的科學記錄上,至今仍在實際中廣泛應用。從以上實例不難看出,華老是直覺型數學家,王老是邏輯型數學家。確實說明阿達瑪關于數學家之間主要區別是:有些數學家是直覺型的,另一些是邏輯型論述的正確。由此歸結為探討邏輯思維和直覺思維在數學發展中的職能問題了,邏輯思維是數學思維中的主導成份,直覺思維是數學創造中的關鍵因素,是數學創新過程中的創造型思維。
二、數學既被發現又被發明 在創造性階段,直覺起著重要作用。一般而言,直覺是智慧對客體的把握和內省,其 表現往往是靈感和頓悟。由于直覺思維凝聚著探索者的觀察力、思考力,故它本身就是一項嚴肅的科學活動。而科學發現許多時候都得力于頓悟一剎那間閃現出的靈光,所以它也是發明的藝術、創造的前奏。例如上例中彭加勒發明富克斯群和富克斯函數。數學直覺思維,就是直覺空間對知識空間的作用。該作用一般地說主要表現在兩個方面:一是在知識的發現方面,面對一些數學事實,通過直覺的猜測、想象活動,概括出新命題,這便是直覺歸納問題。一是在知識的證實方面,對于數學問題或猜想出的命題進行解決和證明,這雖然是邏輯論證的事,但是沒有直覺的指引和參與似乎是難以完成的,這便是直覺論證問題。在這個發現過程中也包含了發明因素,體現了直覺的發明功能,然而不管是什么方面的作用,當我們把歸納和論證都看成是對某個問題的解決時,這些作用便可概括成為直覺思維在數學發明上的創造功能。 徐利治先生是我國著名數學家,他在數學研究中,常常借助于由經驗獲得的直觀能力,以猜想的方式去探索某些可能取得的成果,例如1964年他在吉林大學任教期間,一度對超越方程求實根問題發生了興趣,研究目標是希望能找到無需估算初值的大范圍收斂迭代法。他想到歐拉在尋求著名的級數和 1+1/22+1/32+,+1/n2+,=P2 /6 時,曾把正弦函數的冪級數展開式大膽地看成為無限次多項式,從而通過類比法得到了正弦函數的因式分解的無窮乘積公式,最后再把乘積展開后與冪級數三次冪比較系數,便成 功地解決了雅谷柏努利的級數求和難題,得到了級數1+1/22+1/32+,+1/n2 +,之和 受歐拉思想方法的重要啟示,使徐利治先生聯想到拉蓋耳迭代公式中的參數n應能令它趨向于]而獲得適用于超越方程的迭代方法。再由觀察立即看出當時拉氏公式的繼續保持合理意義,這樣,他便猜到了一個可用以求解超越方程的大范圍收斂迭代法。最后,應用整函數論里的阿達瑪因式定理,果然證明了上述方法的大范圍收斂性。 另一方面,許多現代數學家都傾向于承認數學是研究模式的科學,數學展現的是世界所應服從的模式之間的關系,所以從遠古時期第一個整數概念形成時開始,綿延至今的數學就一直使用邏輯思維去思考自己的對象,為了使數學能向更高的抽象方向發展,人類便必須采取最可靠的推理方式,除了保證自己的結果準確無誤以外,它還要保證自己能夠脫離物理世界而能最終符合世界。這個推理就是邏輯演繹。從這一點上說,數學只能被邏輯發現,特別是當某些猜測被邏輯證明出來時,那個數學結果好像早就存在于那里一樣,這時數學應該說是被發現出來。 錢學森先生在其大作關于思維科學一文中說:如果邏輯思維是線性的,形象思維是二維的,那么靈感思維好像是三維的。總而言之,在數學創新中,既需要邏輯思維,也需要直覺思維和靈感思維,而且只有將三者有機地結合起來,才能成為創造數學新成果的源泉。邏輯思維是數學思維中的主導成份,嚴密的邏輯推理是建構數學理論體系的最重要的階段。是幾千年來數學采用的生長知識最成功的一種理性方式,最為典型的屬歐幾里的模式,這種模式即公理化方法,它通過事先選定的一組術語和確定它們特征的一組公理作基礎,運用演繹邏輯的力量,以一系列定理證明的方式展現、研究、發展數學知識,這種模式融研究和整理于一體。充分體現了邏輯演繹的發現功能。 再次,從數學的學科性質看,它早已被人們確認是科學,但是數學科學與其他自然科學相比,有其獨特的品性,它是抽象思維建構出來的模式,并且可以進行一系列的模式運算。在信息化、高科技時代的今天,人們越來越認識到,數學不僅是科學,而且還是技術(數學技術)。美國科學院院士J.Glimm說:數學對經濟競爭力至為重要,數學是一種關鍵的普遍適用的,并授予人以能力的技術著名數學家王梓坤院士認為:數學兼有科學與技術兩種品質,這是其他學科所難的,不可不知。科學與技術是有區別的,科學講求要有所發現,目標是追求真理,探索和發現客觀存在,是建構關于自然的知識體系,即通常所說的認識自然。而技術講求要有所發明,是改造自然的活動,即通常所說的關于人們做什么和怎樣做的方法和手段,具有強烈的功利主義色彩,其目標是設計和發明自然狀態中本不存在,但卻為人所需要的過程、程序、裝置和產品(追求有效性)。 現代數學建立在公理集合論的基礎上,但絕大多數數學家研究的是群、開集等定義在集合論上的結構以及層層定義在它們之上的概念和對象,亦正是這些概念和結構的引入,決定了數學大廈的整體形象,開辟了常規數學研究的場所,決定了數學發展的總方向。這種引入新的數學概念和結構的富于開創性的工作可以看作一種發明,在引入了一組概念從而定義了一組抽象結構以后,數學工作的中心就變成了弄清這些結構的主要特征,這可以比作發現的過程。這個過程一般又分提出命題(猜想)和證明命題兩步來完成,這兩步工作中,最重要的是提出深刻的猜想,從而計劃好弄清整個結構的最佳路線,證明這些猜想，則是實際去走這條路,一般而言是基礎,也是較缺乏創造性的工作。[8] 三、數學與真理 史寧中教授的命題在最后追加了一句:/并且請注意到,真理是只能被發現而不能被發明的。這句話正是本命題獨到而深刻之所在,它一針見血地引出了數學與真理之關系。所以要回答這一命題,不得不對有關數學與真理之關系作一定的探討,本文無意于全面研究數學與真理的關系,只想對當前存在的幾種傾向,即數學=真理這種認識誤區作些探討。 根據數學本質的工作最早可追溯到古希臘哲學家柏拉圖。多少年來很多數學哲學家作了許多有益的探討,有的認為數學是處于感性認識過渡到理性。康德認為數學是先天綜合判斷,康德之后,數學發展進入一個新時期,它的重要特點是公理化傾向,這一趨勢使大多數數學家形成了數學是一門演繹的科學。 拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗的片面性,從分析數學理論的結構入手,提出了數學是一門擬經驗科學。[9] 林夏水先生認為:數學是一門演算的科學(其中-演.表示演繹,-算.表示計算或算法,-演算.表示演算這對矛盾的對立統一)。[10]還有人認為:數學是思維,數學 是猜測。 [11]關于這方面的論述還有很多,這些概括都有一定的道理,對理解數學 的本質提供有益的幫助。本文不再一一列出。在我國的數學和哲學工作者中有人認為,或至少潛意識地認為,數學=正確,數學=真理,即把正確和真理看成是數學的本質和數學進步的標準。在這樣一種觀點的導引下,自然而然地產生了一種錯誤的認識:數學的進步就被看成是隨著數學的發展,它越來越正確,越來越接近真理,為什么這么說呢? 首先,從邏輯上講,如果說數學的進步表示它越來越正確或越來越接近真理,那么首先必須知道有一個終極的代表絕對正確或絕對真理的標準存在,然而這一標準不僅是不存在的,而且即使存在我們也不知道它究竟在哪兒,因此我們無法斷定,隨著數學的發展,它究竟是越來越接近,還是越來越遠離真理。 其次,從數學的真理性看,從羅巴切夫斯基空間開始只具備邏輯推理上的無矛盾性,但后來終究發現了它的直觀模型,并在相對論中得到了應用,這就是說,一個數學的真理性問題,一個數學結論,只要它在邏輯推理中無矛盾性是應該承認它的真理性的。至于能否得到實踐的驗證,還有時間條件問題,即使假定有些結論永遠也不能用到實踐中,那么只要它是整個數學科學有機體上一個不可缺少的組成部分,也不應該否定它的真理性。而有些結論,開始在邏輯結構上并不那么嚴格,但在實踐中得到了有效應用,也應該承認其真理性。歐氏幾何在理論上并不嚴格,甚至出現把任意三角形證明為等腰三角形的謬誤,但它在應用上是有效的,因而它是真理。而它理論上的不嚴格最終也被希爾伯特解決了。通過以上事實我們可以說,邏輯上的無矛盾性和實踐中的有效性都可以作為判斷數學結論的真理性的標準。[12]這正是數學與真理的本質區別,所以說,我們對數學的最大誤解莫過于把數學看作是真理,誤認為數學的結論只能靠邏輯嚴謹推理得到,從而追求絕對的真理和真心求理的內功路向,這可能也是我們的數學工作者不敢大膽提出自己科學假說(或叫猜想)的最主要原因。 總之,邏輯推理在數學中的作用是雙重和互補的,它既是數學追求的目標,又是數學為達到目標而采用的手段。 由以上討論我們不難看出,數學這一研究模式的科學,由于模式客觀性和現實客觀性的統一,使數學兼具發現和發明兩種特性,正是這兩種特性使數學在獲得模式真理性的同時也就自動在某種意義上獲得了現實真理性,并最終使這兩種真理性達到完全一致,檢驗數學真理性的標準既可以是邏輯上的無矛盾性也可以是實踐中的有效性,而通常意義下的真理其檢驗標準只能正如鄧小平同志的名言:實踐是檢驗真理的惟一標準。因此，數學既能發現又能發明,真理只能發現而不能發明。

在中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學共有3家學說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天像蓋笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。
據考證，現傳本《周髀算經》大約成書于西漢時期（公元前1世紀）為趙君卿所作，北周時期甄鸞重述，唐代李淳風等注。歷代許多數學家都曾為此書作注，其中最著名的是唐李淳風等人所作的注。《周髀算經》還曾傳入朝鮮和日本，在那里也有不少翻刻注釋。
從所包含的數學內容來看，書中主要講述了學習數學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等。
書中有矩(一種量直角、畫矩形的工具)的用途，勾股定理及其在測量上的應用，相似直角三角形對應邊成比例定理等數學內容．
在《周髀算經》中還有開平方的問題，等差級數的問題,使用了相當繁復的分數算法和開平方法,以及應用于古代的“四分歷”計算的相當復雜的分數運算．還有相當繁雜的數字計算和勾股定理的應用。

又如《九章算術》確定了中國古代數學的框架，以計算為中心的特點，密切聯系實際，以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深，以致以后中國數學的作大體采取兩種形式：或為之作注，或仿其體，例著書；甚至西算傳入中國之后，人們著書立說時還常常把包括西算在內
的數學知識納入九章的框架。 然而，《九章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術》作注，才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是中國數學家之一。他的生平知之甚少。據考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數學理論方面成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關系。又如他把正負數定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關系。

《九章算術》的算法盡管抽象，但相互關系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關系，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為今有術求解。
一個平面（或立體）圖形經過平移或旋轉，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基于這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。